Physik der Windturbine

Vor über tausend Jahren waren Windmühlen im Persischen Raum und in China in Betrieb, siehe Buch der Synergie.
Im 12. Jahrhundert wurde dann in Europa die auf einem Bock in Windrichtung drehbare Bockwindmühle eingeführt.
Im 16. Jahrhundert kam die Kappenwindmühle, auch Holländerwindmühle genannt, hinzu.  Für windärmere Gegenden
in Amerika wurde um 1854 das als Westernmill bezeichnete Windrad mit sehr vielen Flügeln zum Antrieb von Pumpen entwickelt. Danach sind dann aber Windmühlen zunehmend durch Dampfmaschinen und Verbrennungsmaschinen
ersetzt worden. Von etwa 200 000 in der Mitte des 19. Jahrhunderts in Europa vorhandenen Mühlen war nach hundert Jahren nur jede Zehnte  erhalten. Die bis heute verbliebenen Exemplare mahlen oder pumpen kaum noch. Aber die Zahl der Windkraftanlagen (WKA) wächst seit Ende des vergangenen Jahrhunderts beständig und hat in vielen Ländern eine wichtige Rolle bei der Stromerzeugung übernommen.

Wir zeigen zuerst, dass für alle Windräder die Windleistung proportional zur dritten Potenz der Windgeschwindigkeit  ist. Windenergie ist die kinetische Energie der bewegten Luft. Die kinetische Energie einer Masse m mit der Geschwindigkeit v ist immer

Die Luftmasse m kann man aus der Luftdichte ρ und dem Luftvolumen V gemäß

bestimmen. Damit erhalten wir

Leistung ist Energie geteilt durch Zeit. Wir betrachten wir einen kleinen Zeitabschnitt Δt, in dem die Luftteilchen die Wegstecke s = v Δt durchströmen . Multiplizieren wir die Wegstrecke mit der Rotorfläche A des Windrads, ergibt sich ein Volumen von

 das während dieses kleinen Zeitabschnitts das Windrad antreibt. Als Windleistung ergibt sich

Die Windleistung wächst demnach mit der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit. Mit anderen Worten: Eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit ergibt die achtfache Windleistung. Die Auswahl eines "windigen" Standorts ist also sehr wichtig
für eine Windkraftanlage (WKA).

Die effektiv nutzbare Windleistung ist geringer, als durch obige Gleichung angegeben. Die Windgeschwindigkeit hinter
dem Windrad kann nicht null werden, da dann keine Luft nachströmen könnte. Also kann nur ein Teil  der kinetischen Energie entnommen werden. Wir betrachten folgendes Bild:

Die Windgeschwindigkeit vor dem Windrad ist größer als die danach. Weil die Strömung kontinuierlich sein muss, ist die Fläche A₂ nach dem Windrad größer als die Fläche A₁ davor. Die effektive Leistung ist die Differenz der Windleistungen:

Ist die Differenz der beiden Geschwindigkeiten null, haben wir keine Nutzleistung. Ist die Differenz zu groß, wird die Luftströmung durch den Rotor zu stark behindert. Der Leistungsbeiwert c_p charakterisiert die relative Leistungsentnahme:

Bei der Herleitung obiger Gleichung aus den darüber stehenden Gleichungen ist davon ausgegangen wurden, dass
A₁v₁ = A₂v₂ = A (v₁+v₂) / 2 ist. Das Verhältnis v₂/v₁ haben wir auf der rechten Seite obiger Gleichung mit x bezeichnet.
Eine Extremwertbetrachtung dieser Gleichung (Nullsetzen der ersten Ableitung nach x ) ergibt für x = 1/3 ein Maximum.
Maximale Leistungsentnahme erfolgt also bei v₂ = v₁ / 3, und der ideale Leistungsbeiwert bei diesem Verhältnis ist

Ein zu nahe hinter einem Windrad befindliches weiteres Windrad würde nur durch die langsamere Luft angetrieben. Deshalb ist bei Windparks in der Hauptwindrichtung ein Mindestabstand des achtfachen Rotordurchmessers bzw. senkrecht dazu ein mindest vierfacher Abstand einzuhalten. Übliche Durchmesser von Windrädern sind 50 m bei
einer installierten Leistung von 1 MW und 126 m bei einer 5-MW-WKA. Letztere wird vor allem auf dem offenen Meer
(off shore) eingesetzt.

Die installierte Leistung oder auch Nennleistung einer Windkraftanlage entspricht der abgegebenen elektrischen
Leistung bei der Nenngeschwindigkeit zwischen 12 und 16 m/s, also bei optimalen Windbedingungen. Bei höheren Windgeschwindigkeiten, für die die Anlage noch ausgelegt ist, wird aus Sicherheitsgründen keine größere Leistung erzeugt. Bei Sturm werden die Anlagen abgeschaltet. Im Binnenland kann im Jahresmittel eine Auslastung von 23 % erreicht werden. Dieser Wert erhöht sich auf 28 % an der Küste und auf 43 % für Off-Shore-Anlagen.

Wilhelm Busch hat die wirtschaftlichen Probleme beim Betrieb
einer Windanlage so beschrieben:

Aus der Mühle schaut der Müller, der so gerne mahlen will,
stiller wird der Wind und stiller, und die Mühle stehet still.
So geht’s immer wie ich finde, ruft der Müller voller Zorn,
hat man Korn so fehlt's am Winde, hat man Wind so fehlt's am Korn.

Für die Windkraftanlagen übernehmen die Spitzenzeiten des Strombedarfs die Rolle des Korns beim Müller. Da sich Spitzenzeiten und optimale Windbedingungen nicht korrelieren lassen, müssen andere Elektroenergieerzeuger mit kurzen Anlaufzeiten in einem dafür ausgerüsteten Verteilernetz die Windstromerzeugung ergänzen.

Übrigens hat Wilhelm Busch das linke Bild nicht zu obigem Vers gemalt. Es ist die Illustration einer Beschreibung damaliger Konflikte mit Anwohnern von Windanlagen.

Statistischen Angaben kann entnommen werden, dass Ende 2010
in Deutschland etwa 21 600 Windkraftanlagen mit einer Gesamt-Leistung von etwa 27 GW in Betrieb waren. Die durchschnittliche Nennleistung einer neuen Anlage ist reichlich 2 MW. Bis 2008 lag Deutschland in der bisher istallierten Leistung an der Weltspitze.
Seit Ende 2010 nehmen China mit bisher installierten 44,7 GW
die erste und die USA mit 40,2 GW die zweite Stelle bei der Elektroenergieerzeugung durch Strom ein. In Deutschland deckt
sie derzeit etwa 9,4 % des Gesamtstrombedarfs. 80 % der in Deutschland hergestellten Anlagen werden exportiert. Hauptabnehmer ist China mit einer Neuinstallation von über
10 GW pro Jahr.

Der Bundesverband WindEnergie und das Deutsche Windenergie-Institut, bieten aktuelle Informationen zur Windenergie an. Technische Details findet man in Büchern mit dem Titel Windkraftanlagen (oder Wind Turbines).

Am Ende soll noch erläutert werde, weshalb den Windkraftanlagen im Vergleich zu den Windmühlen ein Flügel verloren gegangen ist. Die mechanische Rotorleistung P_mech = 2π Mn ist proportional zum auf die Welle wirkenden Drehmoment M und zur Drehzahl n. Letztere wird durch die Schnelllaufzahl λ beeinflusst, die sich gemäß λ =v_u / v₁  aus dem Verhältnis von Umfangsgeschwindigkeit (Blattspitzengeschwindigkeit) v_u  des Rotors und der Windgeschwindigkeit v₁ berechnet.
Nun wächst zwar das Drehmoment M mit der Zahl der Flügel. Es ist demnach am größten für die Viel-Flügel-Westernmill und für den Vierflügler größer als für den Dreiflügler.  Jeder Flügel reduziert  mit  zunehmender Drehzahl das Windangebot für den im Drehsinn folgenden Flügel. Dieser "Windschatten" wirkt um so stärker, je mehr Flügel ein Rotor besitzt. Die optimale Schnelllaufzahl ist deshalb nur etwa eins für die Westernmill, überschreitet kaum zwei für die Vier-Flügel-Windmühle und ist 7 bis 8 für die Drei-Flügel-Rotoren. Diese erreichen bei ihrer optimalen Schnelllaufzahl einen Wert von c_p = 48 % und kommen damit dem oben genannten idealen Leistungsbeiwert der Windenergieausbeute von c_p = 59 % näher als Vierflügler. Für Zweiflügler oder mit Gewichten ausgewuchtete Einflügler ist die Ausbeute wegen des kleineren Drehmoments trotz noch höherer Schnelllaufzahlen ebenfalls geringer. Deshalb haben Windkraftanlagen drei Flügel.

 

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